Question

【附加题】阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如

a

与

a

，

2

+1与

2

-1．
（1）请你再写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：

 

．
这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：

2

3

=

2 • 3

3 • 3

=

6

3

.

2

3- 3

=

2 (3+ 3 )

(3- 3 )(3+ 3 )

=

3 2 + 6

9-3

=

3 2 + 6

6

．
（2）请仿照上面给出的方法化简下列各式：
①

3-2 2

3+2 2

；②

1-b

1- b

(b≠1)；
（3）化简

3

5 - 2

时，甲的解法是：

3

5 - 2

=

3( 5 + 2 )

( 5 - 2 )( 5 + 2 )

=

5

+

2

，乙的解法是：

3

5 - 2

=

( 5 + 2 )( 5 - 2 )

5 - 2

=

5

+

2

，以下判断正确的是（　　）
A、甲的解法正确，乙的解法不正确B、甲的解法不正确，乙的解法正确
C、甲、乙的解法都正确D、甲、乙的解法都不正确
（4）已知a=

1

5 -2

，b=

1

5 +2

，则

a2+b2+7

的值为（　　）
A、5    B、6    C、3     D、4．

Answer 1

分析：（1）根据平方差公式，选择两个互为有理化的因式；
（2）可分子、分母同乘以分母的有理化因式，也可以将分子因式分解；
（3）这两种解法都正确，反映了分母有理化的两种方法；
（4）先将a、b分母有理化，再计算a²+b²的值，代入二次根式即可．

解答：解：（1）化为有理化因式的二次根式为

5

+

2

与

5

-

2

，答案不唯一；

（2）①

3-2 2

3+2 2

=

(3-2 2 )2

(3+2 2 )(3-2 2 )

=17-12

2

；
②

1-b

1- b

=

(1+ b )(1- b )

1- b

=1+

b

；

（3）甲将分子、分母中同乘以分母的有理化因式，正确，
乙将分子分解因式，再约分，正确，
这两种方法都适合于二次根式的化简，故选C；

（4）∵a=

1

5 -2

=

5 +2

( 5 -2)( 5 +2)

=

5

+2
b=

1

5 +2

=

5 -2

( 5 +2)( 5 -2)

=

5

-2
∴a²+b²=（

5

+2）²+（

5

-2）²=18
则

a2+b2+7

=

18+7

=5．故选A．

点评：本题考查了二次根式的分母有理化运算的方法，二次根式的运算问题．本题可先计算a²+b²，再代入二次根式中进行计算．