Question

6．关于x的方程x²-x+k-1=0有两个实数根x₁，x₂
（1）求k的取值范围．
（2）若[3+x₁（1-x₁）][3+x₂（1-x₂）]=16，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据关于x的方程x²-x+k-1=0有两个实数根x₁，x₂，可知△≥0，从而可以求得k的取值范围；
（2）根据题目中的式子可以求得k的值，再根据（1）中的k的取值范围，从而可以最终确定k的值．

解答 解：（1）∵关于x的方程x²-x+k-1=0有两个实数根x₁，x₂，
∴△=（-1）²-4×1×（k-1）≥0，x²-x=1-k，
解得，k≤$\frac{5}{4}$，
即k的取值范围是k≤$\frac{5}{4}$；
（2）∵[3+x₁（1-x₁）][3+x₂（1-x₂）]=16，
∴[$3+{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}$][3+${x}_{2}-{{x}_{2}}^{2}$]=16，
∴[3+k-1][3+k-1]=16，
解得，k=2或k=-6，
由∵k≤$\frac{5}{4}$，
∴k=-6
即k的值是-6．

点评 本题考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是明确题意，找出所求问需要的条件，注意（2）中k的取值要与（1）中k的取值范围联系在一起．