Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．

 

Answer 1

【答案】

（1）证明见解析（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形，理由见解析

【解析】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD。

又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA。∴∠DEC=∠AEB。

又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB（SAS）。

∴AB=CD。

∴梯形ABCD是等腰梯形。

（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形。理由如下：

∵E为BC的中点，BC=2AD，∴BE=EC=AD。

又∵AD∥BC，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形。∴AB=ED。

∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC。∴四边形AECD是菱形。

过A作AG⊥BE于点G，

∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形。

∴∠AEB=60°，∴AG=。

∴S_菱形AECD=EC•AG=2×=2。

（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，从而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形。

（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形。过A作AG⊥BE于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，从而求得菱形AECD的面积。