Question

20．如图，已知AB=12，点C，D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，下列说法中正确的有（　　）
①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积不变；
③EF的中点G移动的路径长为4；④△EFP的面积的最小值为8．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可确定③正确；又由G为EF的中点，∠EPF=90°，可知②错误．根据直角三角形两直角边的差越大，直角三角形的面积越小，可求得答案．

解答 解：如图，
分别延长AE、BF交于点H．
∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
∴∠A=∠FPB=45°，∠B=∠EPA=45°，
∴AH∥PF，BH∥PE，∠EPF=180°-∠EPA-∠FPB=90°，
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分．
∵G为EF的中点，
∴G也为PH中点，
即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，
∴G的运行轨迹为△HCD的中位线MN．
∵CD=12-2-2=8，
∴MN=4，即G的移动路径长为4．
故③EF的中点G移动的路径长为4，正确；
∵G为EF的中点，∠EPF=90°，
∴①△EFP的外接圆的圆心为点G，正确．
∴①③正确．
∵点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），易证∠EPF=90°，所以四边形面积便是三个直角三角形的面积和，设cp=x，则四边形面积S=$\frac{{x}^{2}-8x+124}{4}$
∴AP不断增大，
∴四边形的面积S也会随之变化，故②错误．
④等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
∠EPF=90°，
AP=$\sqrt{2}$PE，BP=$\sqrt{2}$PF，
当AP=AC=2时，即PE=$\sqrt{2}$，PF=5$\sqrt{2}$，
S_△PEF最小=$\frac{1}{2}$PE•PF=5，故④错误；
故选：B．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形外接圆的知识以及三角形中位线的性质等知识．此题综合性很强，图形也很复杂，解题时要注意数形结合思想的应用．此题属于动点问题，是中考的热点．