Question

8．如图，AC为⊙O的直径，DAB为⊙O的割线，E为⊙O上一点，弧BE=弧CE，DE⊥AB于D，交AO的延长线于F
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AD=$\frac{5}{4}$，CF=3，求tan∠CAE的值．

Answer 1

分析 （1）欲证明DF为⊙O的切线，连接OE，只要证明OE⊥DF即可，只要证明AD∥OE．
（2））由OE∥AD，推出$\frac{OE}{AD}$=$\frac{OF}{FA}$，设⊙O的半径为r，则$\frac{r}{\frac{5}{4}}$=$\frac{r+3}{2r+3}$，可得r=1，在Rt△OEF中，EF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{15}$，在Rt△ADF中，DF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{5}{4}$$\sqrt{15}$，求出DE=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，根据tan∠CAE=tan∠EAD=$\frac{DE}{AD}$计算即可．

解答 （1）证明：如图连接OE．
∵$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠DAE=∠EAC，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠DAE=∠AEO，
∴AD∥OE，
∵AD⊥DF，
∴OE⊥DF，
∴DF是⊙O的切线．

（2）∵OE∥AD，
∴$\frac{OE}{AD}$=$\frac{OF}{FA}$，设⊙O的半径为r，
则$\frac{r}{\frac{5}{4}}$=$\frac{r+3}{2r+3}$，
∴r=1，
在Rt△OEF中，EF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
在Rt△ADF中，DF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{5}{4}$$\sqrt{15}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴tan∠CAE=tan∠EAD=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{5}{4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查切线的判定、平行线的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练掌握证明切线的方法，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．