Question

10、证明：方程x⁴+y⁴+2=5z没有整数解．

Answer 1

分析：由已知，先由任意整数x除以5（以5为模）都有x≡0，±1，±2（mod5），得出对任意整数x，x⁴≡0，1（mod5），则对任意整数y，y⁴≡0，1（mod5），所以推出x⁴+y⁴+2≡2，3，4（mod5），从而得证．

解答：证明：对于任一整数x，以5为模，有
x≡0，±1，±2（mod5），
x²≡0，1，4（mod5），
x⁴≡0，1，1（mod5），
即对任一整数x，x⁴≡0，1（mod5）．
同样，对于任一整数y，y⁴≡0，1（mod5），
所以x⁴+y⁴+2≡2，3，4（mod5），
从而所给方程无整数解．

点评：同余是处理不定方程的基本方法，但这种方法也非常灵活，关键在于确定所取的模（本例我们取模5），这往往应根据问题的特点来确定．