Question

证明：方程x⁴+y⁴+2=5z没有整数解．

Answer 1

证明：对于任一整数x，以5为模，有
x≡0，±1，±2（mod5），
x²≡0，1，4（mod5），
x⁴≡0，1，1（mod5），
即对任一整数x，x⁴≡0，1（mod5）．
同样，对于任一整数y，y⁴≡0，1（mod5），
所以x⁴+y⁴+2≡2，3，4（mod5），
从而所给方程无整数解．