Question

【题目】已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，交⊙O于G，CF⊥AB于F，点C是弧BG的中点．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AF，BF（AF＞BF）是一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两根，求CE和AG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2，4

【解析】

（1）连接OC，求出AC平分∠EAF，推出OC∥AE，推出OC⊥DE，根据切线判定推出即可；

（2）连接CG，得到CG＝BC，解方程求得AF＝6，BF＝2，得到AB＝8，根据射影定理得到AC＝4，BC＝4，解直角三角形即可得到结论．

（1）证明：连接OC，

∵点C是弧BG的中点，

∴∠EAC＝∠CAF，

∵OA＝OC，

∴∠CAF＝∠OCA，

∴∠OCA＝∠EAC，

∴OC∥AE，

∵AE⊥DE，

∴OC⊥DE，

∵OC为⊙O半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）连接CG，

∴CG＝BC，

∵AF，BF（AF＞BF）是一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两根，x2﹣8x+12＝0的两根为，

∴AF＝6，BF＝2，

∴AB＝8，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CF⊥AB，

∴AC2＝AFAB＝6×8＝48，BC2＝BFAB＝16，

∴AC＝4，BC＝4，

∴tan∠CAB＝＝，

∴∠CAE＝∠CAB＝30°，

∴CE＝AC＝2，AE＝AC＝6，

∵CG＝BC＝4，

∴EG＝＝＝2，

∴AG＝4．