Question

【题目】如图，、、为上三点，，，，分别是，的中点，则________．

Answer 1

【答案】

【解析】

连结OA、OB、OC，如图，设⊙O的半径为R，先根据三角形内角和定理计算出∠ACB=15°，在根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，∠AOB=2∠ACB=30°，则△OAC为等腰直角三角形，∠BOC=120°，由M，N分别是BC，AC的中点，根据垂径定理得到OM⊥BC，ON⊥AC，然后根据等腰直角三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系得到ON=R，OM=R，最后求它们的比值．

连结OA、OB、OC，如图，设⊙O的半径为R．

∵∠BAC=120°，∠ABC=45°，∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=15°，∴∠AOC=2∠ABC=90°，∠AOB=2∠ACB=30°，∴△OAC为等腰直角三角形，∠BOC=90°+30°=120°．

∵M，N分别是BC，AC的中点，∴OM⊥BC，ON⊥AC．在Rt△OCN中，ON=OC=R．

∵OC=OB，∠BOC=120°，∴∠OCB=∠OBC=30°．

在Rt△BOM中，OM=OB=R，∴OM：ON=R：R=1：．

故答案为：1：．