Question

（2004•泰安）若方程组

x2+y2=34 x-y=6

的解为

x=x1 y=y1

，

x=x2 y=y2

求：（1）

x

2 1

+

x

2 2

（2）

1

y1

+

1

y2

．

Answer 1

分析：利用代入消元法克得到x²+（x-6）²=34，整理得x²-6x+1=0，根据方程组的解的定义和根与系数的关系得到x₁+x₂=6，x₁•x₂=1，则y₁+y₂=x₁+x₂-12=6-12=-6，
y₁，•y₂=x₁•x₂-6（x₁+x₂）+36=1-6×6+36=1．
（1）变形

x

2 1

+

x

2 2

得到（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，然后利用整体思想计算；
（2）

1

y1

+

1

y2

得到

y1+y2

y1y2

，然后利用整体思想计算．

解答：解：

x2+y2=34① x-y=6②

，
由②得y=x-6③，
把③代入①得x²+（x-6）²=34，
整理得x²-6x+1=0，
根据题意得x₁+x₂=6，x₁•x₂=1，
（1）

x

2 1

+

x

2 2

=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂
=36-2
=34；

（2）∵y=x-6，
∴y₁=x₁-6，y₂=x₂-6，
∴y₁+y₂=x₁+x₂-12=6-12=-6，
y₁，•y₂=x₁•x₂-6（x₁+x₂）+36=1-6×6+36=1，
∴

1

y1

+

1

y2

=

y1+y2

y1y2

=

-6

1

=-6．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了代数式的变形能力．