Question

【问题情镜】
如图1，∠B=∠C=90°，点E在BC上，AE平分∠DAB，DE平分∠ADC．
【探究展示】
求证：（1）∠AED=90°（2）点E是BC的中点（3）AB+DC=AD．
【拓展延伸】
如图2，AB∥CD，点E在BC上，AE平分∠DAB，DE平分∠ADC，问点E是BC中点吗？说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图1，作辅助线，证明△ABE≌△AFE，得到∠AEB=∠AEF；同理可证∠DEC=∠DEF，即可解决问题．
（2）如图2，作辅助线，证明EM=EF，EN=EF，得到EM=EN；运用平行线分线断成比例定理即可解决问题．

解答：解：【探究展示】
（1）如图1，过点E作EF⊥AD；
∵AE平分∠DAB，且∠B=90°，
∴BE=FE；
在Rt△ABE于Rt△AFE中，

AE=AE BE=FE

，
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），
∴AF=AB，∠AEB=∠AEF；
同理可证：DF=DC，EC=EF，∠DEC=∠DEF；
∴2∠AED=180°，∠AED=90°．
（2）由（1）知：
EB=EF，EC=EF，
∴EB=EC，点E是BC的中点．
（3）由（1）知：AF=AB、DF=DC，
∴AD=AB+DC．
【拓展延伸】点E是BC中点；探究如下：
如图2，过点E作EF⊥CD，MN⊥AB，交DC的延长线于点N；
∵AB∥DC，
∴MN⊥DC；而AE平分∠DAB，DE平分∠ADC，
∴EM=EF，EN=EF，
∴EM=EN；而CN∥MB，
∴

CE

BE

=

EN

EM

=1，
∴CE=BE，点E是BC中点．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用角平分线的性质、全等三角形的判定、平行线分线断成比例定理等几何知识点来分析、解决．