Question

8．（1）若x，y为实数．且y=$\sqrt{1-4x}$+$\sqrt{4x-1}$+$\frac{1}{2}$，求$\sqrt{\frac{x}{y}+2+\frac{y}{x}}$-$\sqrt{\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}}$的值．
（2）化简：$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$+$\frac{\sqrt{a}}{a-b}$•$\frac{a+2\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$÷（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）．

Answer 1

分析 （1）运用二次根式有意义的条件，即$\sqrt{1-4x}$，$\sqrt{4x-1}$必须同时根号下部分大于等于0，即1-4x≥0，且4x-1≥0，得出x的值，再代入y=$\sqrt{1-4x}$+$\sqrt{4x-1}$+$\frac{1}{2}$，求出y的值，从而得出代数式的值；
（2）把分子、分母分解因式，把除法化成乘法，约分化简即可．

解答 解：（1）∵y=$\sqrt{1-4x}$+$\sqrt{4x-1}$+$\frac{1}{2}$，
∴1-4x≥0，且4x-1≥0，
∴x=$\frac{1}{4}$，
∴y=$\frac{1}{2}$，
∴$\sqrt{\frac{x}{y}+2+\frac{y}{x}}$-$\sqrt{\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}+2+2}$-$\sqrt{\frac{1}{2}-2+2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$；

（2）$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$+$\frac{\sqrt{a}}{a-b}$•$\frac{a+2\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$÷（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）=$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$+$\frac{\sqrt{a}}{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}$•$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$•$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$=$\frac{\sqrt{b}（\sqrt{a}+\sqrt{b}）+\sqrt{a}}{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}$=$\frac{\sqrt{ab}+b+\sqrt{a}}{a-b}$．

点评 此题主要考查了二次根式的化简求值，二次根式有意义的条件，以及二次根式的混合运算，解决问题的关键是根据$\sqrt{1-4x}$，$\sqrt{4x-1}$同时有意义，即1-4x≥0，且4x-1≥0，从而得出x的值．