Question

如图，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)．动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边0A、AB、B0作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动．
(1)当P在线段OA上运动时，求直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；
(2)当P在线段AB上运动时，设直线l分到与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形．

Answer 1

（1）当点P在线段OA上时，P(3t，0)，      …………………………………1分
⊙P与x轴的两交点坐标分别为(3t－1，0)、(3t＋1，0)，直线l为x＝4－t，
若直线l与⊙P相交，则．          ………………………………………3分
解得＜t＜．                                ………………………………………5分
（2）点P与直线l运动t秒时，AP＝3t－4，AC＝t，若要四边形CPBD为菱形，则
CP∥OB，
∴∠PCA＝∠BOA，∴Rt△APC∽△ABO，∴＝，∴＝，解得t＝………6分
此时，AP＝，AC＝，∴PC＝，而PB＝7－3t＝≠PC，故四边形CPBD不可能是菱形                                      …………………………………………7分
（上述方法不唯一，只要推出矛盾即可）
现改变直线l的出发时间，高直线l比点P晚出发a秒，
若四边形CBPD为菱形，则CP∥OB，
∴Rt△APC∽△ABO，∴＝＝，∴＝＝，
即，解得
只要直线l比点P晚出发秒，则当点P运动秒时，四边形CPBD就是菱形……………10分

解析