Question

已知：抛物线y=ax²+4ax+t与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B．
（1）求点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）已知直线y=k与抛物线不相交，且抛物线上任意一点到这条直线的距离与这一点到点F（-2，）的距离相等，则k的值为______．（直接写答案）

Answer 1

解：（1）抛物线的对称轴是x==-2，
点A，B一定关于对称轴对称，
所以另一个交点为B（-3，0）．

（2）∵A，B，的坐标分别是（-1，0），（-3，0），
∴AB=2，
∵D是抛物线与y轴的交点，
∴横坐标为0，纵坐标为：t，
∴D（0，t）
∵对称轴为x=-2，
∴C（-4，t）
∴CD=4；
设梯形的高是h．
∵S_梯形ABCD=×（2+4）h=9，
∴h=3，
即|-h|=3，
∴h=±3，
当h=3时，把（-1，0）代入解析式得到a-4a+3=0，
解得a=1，
当h=-3时，把（-1，0）代入y=ax²+4ax+t
得到a=-1，
∴a=1或a=-1，
∴解析式为y=x²+4x+3；或y=-x²-4x-3；

（3）．
分析：（1）易得抛物线的对称轴的具体值，根据两个交点到对称轴的距离相等可得另一交点的坐标；
（2）梯形ABCD一定关于抛物线的对称轴对称，根据梯形的面积就可以求出梯形的高，即C，D的点的纵坐标的绝对值，根据待定系数法就可以求出二次函数的解析式；
（3）根据题中已知条件，将a=1代入解方程即可得出答案．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和梯形的性质等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．