Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MOA的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出当m为何值时，S有最大值，这个最大值是多少？

（3）若点Q是直线y=﹣x上的动点，过Q做y轴的平行线交抛物线于点P，判断有几个Q能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形的点，直接写出相应的点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣4；（2）S关于m的函数关系式为S=﹣m2﹣2m+8，当m=﹣1时，S有最大值9；（3）Q坐标为（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）时，使点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】

(1)设抛物线解析式为y＝ ax2 ＋ bx ＋ c,然后把点A、B、C的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可;

(2)利用抛物线的解析式表示出点M的纵坐标，从而得到点M到x轴的距离，然后根据三角形面积公式表示并整理即可得解，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解;

(3)利用直线与抛物线的解析式表示出点P、Q的坐标，然后求出PQ的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x的一元二次方程即可得解.

解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

∵抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0），

∴，

解得，

∴抛物线解析式为y=x2+x﹣4；

（2）∵点M的横坐标为m，

∴点M的纵坐标为m2+m﹣4，

又∵A（﹣4，0），

∴AO=0﹣（﹣4）=4，

∴S=×4×|m2+m﹣4|=﹣（m2+2m﹣8）=﹣m2﹣2m+8，

∵S=﹣（m2+2m﹣8）=﹣（m+1）2+9，点M为第三象限内抛物线上一动点，

∴当m=﹣1时，S有最大值，最大值为S=9；

故答案为：S关于m的函数关系式为S=﹣m2﹣2m+8，当m=﹣1时，S有最大值9；

（3）∵点Q是直线y=﹣x上的动点，

∴设点Q的坐标为（a，﹣a），

∵点P在抛物线上，且PQ∥y轴，

∴点P的坐标为（a， a2+a﹣4），

∴PQ=﹣a﹣（a2+a﹣4）=﹣a2﹣2a+4，

又∵OB=0﹣（﹣4）=4，

以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形，

∴|PQ|=OB，

即|﹣a2﹣2a+4|=4，

①﹣a2﹣2a+4=4时，整理得，a2+4a=0，

解得a=0（舍去）或a=﹣4，

﹣a=4，

所以点Q坐标为（﹣4，4），

②﹣a2﹣2a+4=﹣4时，整理得，a2+4a﹣16=0，

解得a=﹣2±2，

所以点Q的坐标为（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2），

综上所述，Q坐标为（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）时，使点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形．