Question

如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①BG=GC：②△ABG≌△AFG；③S_△FGC=3；④AG∥CF．其中正确结论是

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；由于S_△FGC=S_△GCE-S_△FEC，求得面积比较；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF即可．

解答：解：①正确．
理由：
EF=DE=

1

3

CD=2，设BG=FG=x，则CG=6-x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6-x）²+4²=（x+2）²，
解得x=3．
∴BG=3=6-3=GC；
②正确．
理由：
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
③错误．
理由：
∵S_△GCE=

1

2

GC•CE=

1

2

×3×4=6
∵GF=3，EF=2，△GFC和△FCE等高，
∴S_△GFC：S_△FCE=3：2，
∴S_△GFC=

3

5

×6=

18

5

≠3．
故③不正确．
④正确．
理由：
∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；
∴正确的个数有①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查的是翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．