Question

设P是边长为1的正△ABC内任一点，L=PA+PB+PC，求证：≤L＜2．

Answer 1

证明：（1）顺时针旋转△BPC60°，可得△PBE为等边三角形．
即得要使PA+PB+PC=AP+PE+EF′最小，只要AP，PE，EF′在一条直线上，
即如下图：可得最小L=；

（2）过P点作BC的平行线交AB，AC于点D，F．
由于∠APD＞∠AFP=∠ADP，
推出AD＞AP ①
又∵BD+DP＞BP ②
和PF+FC＞PC ③
又∵DF=AF ④
由①②③④可得：最大L＜2；
由（1）和（2）即得：≤L＜2．
分析：只要AP，PE，EF在一条直线上，可得最小L=；过P点作BC的平行线交AB，AC于点D，F，可得AD＞AP①，BD+DP＞BP②，PF+FC＞PC③，DF=AF④，从而得出结论．
点评：综合考查了旋转的性质，等边三角形的性质和三角形三边关系，分别找到最小和最大L的求法是解题的关键．