Question

设PQ是边长为1的正△ABC的外接圆内的一条弦．已知AB和AC的中点都在PQ上．那么，PQ的长等于________．

Answer 1

分析：设PD=x，EQ=y由相交弦定理得PD•DQ=AD•BD，AE•CE=EQ•PE，代入求出x=y，再代入上式即可求出x的值，即PQ=2x+，代入即可求出答案．
解答：设PD=x，EQ=y，
∵AB和AC的中点都在PQ上，
∴D、E分别是AB、AC的中点，
∵正△ABC的边长为1，
∴AD=BD=1，AE=CE=1，DE=BC=1，
由相交弦定理得：PD•DQ=AD•BD，AE•CE=EQ•PE，
即x（+y）=×y（+x）=×，
解得：x=y，
即；x（+x）=，
解得：x=-，
∴PQ=2×（-）+=．
故答案为：．
点评：本题主要考查了正多边形与圆，相交弦定理，用公式法解一元二次方程等知识点，解此题的关键是利用相交弦定理求出PD和EQ的关系．