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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，边长为6的正三角形OAB的OA边在x轴的正半轴上，BC是正三角形OAB的高．点P、Q同时从点O出发，点P以1 单位/s的速度精英家教网沿O→B→A向点A匀速运动，点Q以1 单位/s的速度沿x轴的正半轴方向匀速运动．当P点到达点A时Q也随之停止运动．设运动时间为x秒（0＜x≤12）．
    （1）求点B的坐标；
    （2）当点P、Q运动到直线PQ与边OB垂直时，求点P运动的时间x的值；
    （3）若△OPQ与△OBC重叠部分的面积为S（平方单位），求S与x的函数关系式；
    （4）若6＜x＜12时，求点P、Q距离的最小值；并求出P、Q的距离最小时点P的坐标．
    分析：（1）根据△OAB是正三角形，BC是正△OAB的高，得出OC=CA=
    1
    2
    OA=
    1
    2
    ×6    =3，然后求出BC=tan60°×3=3
    		3
    ，即可得出点B的坐标；
    （2）当直线PQ⊥OB时．∠QPB=90°，因为∠ABO=60°所以∠1=30°，∠2=30°，因为∠AOP=60°所以∠Q=90°-60°=30°，所以∠α=∠Q，AP=AQ，列方程得12-x=x-6，解出方程即可；
    （3）当0＜x＜3，可得出S=
    1
    2
    x•x•sin60°=
    		3
    4
    x2    ，当3≤x＜6时，根据S=S△OP2Q2-S△CEQ2可得出S与x的函数关系式，当6≤x＜12时，根据S=S△OCF=
    1
    2
    ×3•CF    ，作P3H⊥OA，根据△OCH∽△OHP3得出
    CF
    P3H
    =
    OC
    OH
    ，把x代入，再进行整理即可得出S与x的函数关系式；
    （4）根据PQ2=P3H2+HQ23得出PQ2=-x2-18x+108，因为6＜x＜12，所以当x=-9时，求出PQ2有最小值
    4×(-1)×108-182
    -4
    ，然后求出PQ的最小值=
    		27
    =3
    		3
    ，即可得出P的坐标．
    解答：解：（1）∵△OAB是正三角形，BC是正△OAB的高，
    ∴OC=CA=
    1
    2
    OA=
    1
    2
    ×6    =3，
    ∴BC=tan60°×3=3
    		3
    ，
    ∴点B的坐标是B(3，3
    		3
    )    ；

    （2）当直线PQ⊥OB时．∠QPB=90°，精英家教网
    ∵∠ABO=60°∴∠1=30°∴∠2=30°，
    ∵∠AOP=60°∴∠Q=90°-60°=30°，
    ∴∠α=∠Q，AP=AQ，
    ∴12-x=x-6，
    ∴2x=18，
    x=9；

    （3）当0＜x＜3，S=
    1
    2
    x•x•sin60°=
    		3
    4
    x2    ，
    当3≤x＜6时，S=S△OP2Q2-S△CEQ2=
    1
    2
    x•x•sin60°-
    1
    2
    (x-3)•(x-3)•
    		3
    =-
    		3
    4
    x2+3
    		3
    x-
    9
    		3
    2
    ，
    6≤x＜12时，S=S△OCF=
    1
    2
    ×3•CF    精英家教网．
    作P3H⊥OA，
    ∵△OCF∽△OHP3，
    ∴
    CF
    P3H
    =
    OC
    OH
    CF
    (12-x)•
    		3
    2
    =
    3
    6-
    12-x
    2
    ，
    ∴CF=
    3
    		3
    x
    (12-x)    S=S△OCF=
    1
    2
    ×3•
    3
    		3
    x
    (12-x)=
    54
    		3
    x
    -
    9
    		3
    2
    ，
    ∴S与x的函数关系式是：s=
    54
    		3
    x
    -
    9
    		3
    2
    ，

    （4）PQ2=P3H2+HQ23=[
    		3
    2
    (12-x)]    2    +(
    12x
    2
    +x-6)    2    =x2-18x+108    ，
    ∵6＜x＜12当x=-
    -18
    2
    =9    时，PQ2有最小值=
    4×(-1)×108-182
    -4
    =27    ，
    ∴PQ最小=
    		27
    =3
    		3

    ∴P的坐标是(
    9
    2
    ，
    3
    2
    		3
    )    ．
    点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的性质列出方程，要注意的是（3）中，要根据x的取值范围分类求解．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
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    ．

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    5
    5
    ．

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    k
    x
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    k
    x
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    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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