Question

19．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，射线AM平分∠BAC，AB=8，cos∠ACB=$\frac{3}{5}$，点P为射线AM上一点，且PB=PC，则四边形ABPC的面积为49．

Answer 1

分析 设AC=3k，BC=5k，根据勾股定理得到AB=4k，得到BC=10，AC=6，过P作PE⊥AB于E，PF⊥于F，求得四边形AEPF是矩形，证得矩形AEPF是正方形，根据全等三角形的性质得到BE=CF，于是得到结论．

解答 解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，cos∠ACB=$\frac{3}{5}$，
∴设AC=3k，BC=5k，
∴AB=4k，
∴k=2，
∴BC=10，AC=6，
过P作PE⊥AB于E，PF⊥于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∵射线AM平分∠BAC，
∴PE=PF，
∴矩形AEPF是正方形，
在Rt△PBE与Rt△PFC中$\left\{\begin{array}{l}{PB=PC}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴Rt△PBE≌Rt△PFC，
∴BE=CF，
∴AE=AF=7，
∴四边形ABPC的面积=正方形AEPF的面积=7×7=49，
故答案为：49．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．