Question

如图：已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上。
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长。
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长。
（3）试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形，若不存在，请简要说明理由：若存在，请求出PQ的长。

Answer 1

解：（1） ∵PQ//AB     ∴△PQC∽△ABC ∵S△PQC=S四边形APBQ ∴   ∴ ∴CP=CA·=2 （2）△PQC∽△ABC   ∴    ∴CQ =CP   同理：PQ = CP   ∴l△PCQ = CP + PQ + CQ = CP+CP +CP=3CP  l四边形PABQ=  PA+AB +BQ+PQ                     = 4 - CP + AB + 3 - CQ + PQ                     = 4 - CP +5 +3 -CP+CP                       = 12 -CP ∴12 -CP = 3CP   ∴CP=12    ∴CP=    （3）1。  ∵AC = 4，AB = 5，BC = 3     ∴△ABC的高为 当∠MPQ = 90°且PM=PQ时 ∵△CPQ∽△CAB ∴  ∴ ∴ 2。∠PQM=90°时与1。相同 3。当∠PMQ=90°，且PM = MQ时 过M作ME⊥PQ   则ME= PQ   ∴△CPQ的高为-ME =-PQ   ∴    ∴ ∴PQ= 综合l。2。3。  ∴点M存在，PQ的长为或 。