Question

（2013•朝阳）如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：
①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③

S△BFD

S△CED

=

BF

CE

；④EF一定平行BC．
其中正确的是（　　）

A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．①②③④

Answer 1

分析：由三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠ADE=∠ADF，又由角平分线的性质，可得AF=AE，继而证得①∠AFE=∠AEF；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面积公式求解即可得③

S△BFD

S△CED

=

BF

CE

．

解答：解：①∵三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠ADE=∠ADF，DF=DE，
∴AF=AE，
∴∠AFE=∠AEF，故正确；
②∵DF=DE，AF=AE，
∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF，故正确；
③∵S_△BFD=

1

2

BF•DF，S_△CDE=

1

2

CE•DE，DF=DE，
∴

S△BFD

S△CED

=

BF

CE

；故正确；
④∵∠EFD不一定等于∠BDF，
∴EF不一定平行BC．故错误．
故选A．

点评：此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．