Question

已知：抛物线y=kx2+2

3

(2+k)x+k2+k经过坐标原点．
（1）求抛物线的解析式和顶点B的坐标；
（2）设点A是抛物线与x轴的另一个交点，试在y轴上确定一点P，使PA+PB最短，并求出点P的坐标；
（3）过点A作AD∥BP交y轴于点D，求到直线AP、AD、CP距离相等的点的坐标．

Answer 1

分析：（1）由抛物线过原点得到k²+k=0，且k≠0，求出k的值，即可得到抛物线的解析式，化成顶点式即可求出顶点坐标；
（2）当y=0时，求出x的值，即得到A的坐标，进一步求出A关于Y轴的对称点C的坐标，设直线BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入解析式即可求出直线BC的解析式，求出直线BC与Y轴的交点即可；
（3）证出Y轴是∠APC的角平分线和X轴是∠DAP的角平分线，两线的交点O就是符合条件的点；同样作∠DAP的外角∠EAP的平分线和∠CPA的外角∠FPA的平分线，其交点M也符合要求，求出M的坐标即可．

解答：（1）解：∵抛物线y=kx2+2

3

(2+k)x+k2+k经过坐标原点，
∴k²+k=0，
解得：k=0（舍去），k=-1，
∴抛物线的解析式是y=-x²+2

3

x，
∴y=-x²+2

3

x，
=-（x-

3

）²+3，
∴顶点B的坐标是（

3

，3），
答：抛物线的解析式是y=-x²+2

3

x，顶点B的坐标是（

3

，3）；

（2）解：当y=0时-x²+2

3

x=0，
解得：x₁=0，x₂=2

3

，
∴A的坐标是（2

3

，0），
A关于y轴的对称点C的坐标是C（-2

3

，0），
设直线BC的解析式是y=kx+b，
把B（

3

，3），C（-2

3

，0）代入得：

3= 3 k+b 0=-2 3 k+b

，
解得：

k= 3 3 b=2

，
∴直线BC的解析式是y=

3

3

x+2，
当x=0时，y=2，
∴点P的坐标是（0，2），
答：点P的坐标是（0，2）．

（3）解：∵A、C关于y轴对称，P在Y轴上，
∴AP=CP，
∵∠CAP=∠ACP，x轴⊥y轴，
∴y轴是∠APC的角平分线，
即y轴上任意一点到AP、CP的距离都相等，
∵AD∥PC，
∴∠DAC=∠ACP，
∴∠DAC=∠CAP，
∴x轴是∠DAP的角平分线，
即x轴上任意一点到AP、AD的距离都相等，
∴x轴与y轴的交点O到AP、AD、CP距离相等，
∴点的坐标是（0，0），
如图∠DAP的外角∠EAP的平分线和∠CPA的外角∠FPA的平分线的交点M也符合要求，
根据作图条件能得到矩形MAOP，
即点M的坐标是（2

3

，2），
到直线AP、AD、CP距离相等的点的坐标是（0，0）和（2

3

，2），
答：到直线AP、AD、CP距离相等的点的坐标是（0，0）和（2

3

，2）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，解二元一次方程组，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，二次函数的顶点式等知识点，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性很强的题目，有一定的难度，但题型较好．