Question

【题目】如图，在正方形外取一点，连接、、，过点作的垂线交于点．若，，下列结论：①；②；③点到直线的距离为；④；⑤正方形．其中正确的是（ ）

A.①②③④B.①②④⑤C.①③④D.①②⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】

①利用同角的余角相等，易得∠EDC＝∠PDA，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；②利用①中的全等，可得∠APD＝∠CED，结合三角形的外角的性质，易得∠CEP＝90°，即可证；③过C作CF⊥DE，交DE的延长线于F，利用②中的∠BEP＝90°，利用勾股定理可求CE，结合△DEP是等腰直角三角形，可证△CEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、CF；⑤在Rt△CDF中，利用勾股定理可求CD2，即是正方形的面积；④连接AC，求出△ACD的面积，然后减去△ACP的面积即可．

解：①∵DP⊥DE，

∴∠PDE＝90°，

∴∠PDC＋∠EDC＝90°，

∵在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝CD，

∴∠PDC＋∠PDA＝90°，

∴∠EDC＝∠PDA，

在△APD和△CED中

∴（SAS）（故①正确）；

②∵，

∴∠APD＝∠CED，

又∵∠CED＝∠CEA＋∠DEP，∠APD＝∠PDE＋∠DEP，

∴∠CEA＝∠PDE＝90°，（故②正确）；

③过C作CF⊥DE，交DE的延长线于F，

∵DE＝DP，∠EDP＝90°，

∴∠DEP＝∠DPE＝45°，

又∵②中∠CEA＝90°，CF⊥DF，

∴∠FEC＝∠FCE＝45°，

∵，∠EDP＝90°，

∴

∴，

∴CF＝EF＝，

∴点C到直线DE的距离为（故③不正确）；

⑤∵CF＝EF＝，DE＝1，

∴在Rt△CDF中，CD2＝（DE＋EF）2＋CF2＝，

∴S正方形ABCD＝CD2＝（故⑤正确）；

④如图，连接AC，

∵△APD≌△CED，

∴AP＝CE＝，

∴＝S△ACD﹣S△ACP＝S正方形ABCD﹣×AP×CE＝×（）﹣××＝．（故④不正确）．

故选：D．