Question

19．已知，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA、PB、PC
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）
①设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域的面积；
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，若PA′+PC′=2PB′，请说明点P必在对角线AC上．

Answer 1

分析 （1）①△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积实际是大扇形BAC与小扇形BPP′的面积差，且这两个扇形的圆心角同为90度；
②连接PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而可在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC=6；
（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股定理的逆定理证出∠P′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上．

解答 （1）解：①∵△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB，如图1所示：
∴S_△ABP=S_△BP′C ，
∴S_阴影=S_扇形ABC+S_△BP′C-S_扇形PBP′-S_△ABP
=S_扇形ABC-S_扇形PBP′
=$\frac{90π（{a}^{2}-{b}^{2}）}{360}$
=$\frac{π}{4}$（a²-b²）；
②连接PP′，
如图2所示：
根据旋转的性质可知：
BP=BP′，∠PBP′=90°，
即：△PBP′为等腰直角三角形，
∴∠BPP′=45°，
∵∠BPA=∠BP′C=135°，∠BP′P=45°，
∴∠BPA+∠BPP′=180°，
即A、P、P′共线，
∴∠PP′C=135°-45°=90°；
在Rt△PP′C中，PP′=4$\sqrt{2}$，P′C=PA=2，
根据勾股定理可得PC=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=6；
（2）证明：连接PP′，如图3所示：
∵△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB，
∴PA=P′C，
由（1）①可知：△BPP′是等腰直角三角形，
即PP′²=2PB²，
∵PA²+PC²=2PB²=PP′²，
∴PC²+P′C²=PP′²，
∴∠P′CP=90°；
∵∠PBP′=∠PCP′=90°，
∴在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；
∵∠BPA=∠BP′C，
∴∠BPC+∠APB=180°，
即点P在对角线AC上．

点评 本题四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握旋转的性质是解决问题的关键．