Question

20．如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN=$\frac{4}{3}$NF；③$\frac{BM}{MG}$=$\frac{3}{8}$；④S_{四边形CGNF}=$\frac{1}{2}$S_{四边形ANGD}．其中正确的结论的序号是①③．

Answer 1

分析 ①易证△ABF≌△BCG，即可解题；
②易证△BNF∽△BCG，即可求得$\frac{BN}{NF}$的值，即可解题；
③作EH⊥AF，令AB=3，即可求得MN，BM的值，即可解题；
④连接AG，FG，根据③中结论即可求得S_{四边形CGNF}和S_{四边形ANGD}，即可解题．

解答 解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，
∵BE=EF=FC，CG=2GD，
∴BF=CG，
∵在△ABF和△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABF=∠BCG=90°}\\{BF=CG}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△BCG，
∴∠BAF=∠CBG，
∵∠BAF+∠BFA=90°，
∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF⊥BG；①正确；
②∵在△BNF和△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠NBF}\\{∠BCG=∠BNF=90°}\end{array}\right.$，
∴△BNF∽△BCG，∴$\frac{BN}{NF}$=$\frac{BC}{CG}$=$\frac{3}{2}$，
∴BN=$\frac{2}{3}$NF；②错误；
③作EH⊥AF，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，

AF=$\sqrt{{AB}^{2}{+BF}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵S_△ABF=$\frac{1}{2}$AF•BN=$\frac{1}{2}$AB•BF，
∴BN=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，NF=$\frac{2}{3}$BN=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，
∴AN=AF-NF=$\frac{9\sqrt{13}}{13}$，
∵E是BF中点，
∴EH是△BFN的中位线，
∴EH=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，NH=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，BN∥EH，
∴AH=$\frac{11\sqrt{13}}{13}$，$\frac{AN}{AH}$=$\frac{MN}{EH}$，解得：MN=$\frac{27\sqrt{13}}{143}$，
∴BM=BN-MN=$\frac{3\sqrt{13}}{11}$，MG=BG-BM=$\frac{8\sqrt{13}}{11}$，
∴$\frac{BM}{MG}$=$\frac{3}{8}$；③正确；
④连接AG，FG，根据③中结论，

则NG=BG-BN=$\frac{7\sqrt{13}}{13}$，
∵S_{四边形CGNF}=S_△CFG+S_△GNF=$\frac{1}{2}$CG•CF+$\frac{1}{2}$NF•NG=1+$\frac{14}{13}$=$\frac{27}{13}$，
S_{四边形ANGD}=S_△ANG+S_△ADG=$\frac{1}{2}$AN•GN+$\frac{1}{2}$AD•DG=$\frac{63}{26}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{51}{13}$，
∴S_{四边形CGNF}≠$\frac{1}{2}$S_{四边形ANGD}，④错误；
故答案为 ①③．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边比例相等的性质，本题中令AB=3求得AN，BN，NG，NF的值是解题的关键．