Question

8．如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O₁的坐标为（1，0），以O₁为圆心，O₁O为半径画圆，交直线l于点P₁，交x轴正半轴于点O₂，以O₂为圆心，O₂O为半径画圆，交直线l于点P₂，交x轴正半轴于点O₃，以O₃为圆心，O₃O为半径画圆，交直线l于点P₃，交x轴正半轴于点O₄；…按此做法进行下去，其中$\widehat{{P}_{2017}{O}_{2018}}$的长为2²⁰¹⁵π．．

Answer 1

分析 连接P₁O₁，P₂O₂，P₃O₃，易求得P_nO_n垂直于x轴，可得$\widehat{{{P}_{n}O}_{n+1}}$ 为$\frac{1}{4}$圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题．

解答 解：连接P₁O₁，P₂O₂，P₃O₃…

∵P₁ 是⊙O₂上的点，
∴P₁O₁=OO₁，
∵直线l解析式为y=x，
∴∠P₁OO₁=45°，
∴△P₁OO₁为等腰直角三角形，即P₁O₁⊥x轴，
同理，P_nO_n垂直于x轴，
∴$\widehat{{{P}_{n}O}_{n+1}}$ 为$\frac{1}{4}$圆的周长，
∵以O₁为圆心，O₁O为半径画圆，交x轴正半轴于点O₂，以O₂为圆心，O₂O为半径画圆，交x轴正半轴于点O₃，以此类推，
∴OO_n=2^n-1，
∴$\widehat{{{P}_{n}O}_{n+1}}$=$\frac{1}{4}$•2π•OO_n=$\frac{1}{2}$π•2^n-1=2^n-2π，
当n=2017时，$\widehat{{{P}_{2017}O}_{2018}}$=2²⁰¹⁵π．
故答案为 2²⁰¹⁵π．

点评 本题考查了圆周长的计算，考查了从图中找到圆半径规律的能力，本题中准确找到圆半径的规律是解题的关键．