Question

锐角△ABC，BC上有一点D，CA上有一点E，AB上有一点F，试证：存在唯一一组解，使△AEF∽△ABC，△BDF∽△BAC，△CDE∽△CAB．

Answer 1

解：作△ABC的三条高AD₀，BE₀，CF₀，结论显然成立．
假设有一D点异于D₀满足条件，
则△BDF∽△BAC，
∴，
∴∠BFD=∠BF₀D₀=∠ACB，
同理，
于是，若D在D₀左侧，则E，F也在左侧，与相交，故不平行；
∴∠AFE≠∠AF₀E₀=∠ACB，不符合要求．
若在右侧亦然，
所以假设不成立．
故D₀，E₀，F₀为唯一一组满足条件的点．
分析：△ABC的三条高AD₀，BE₀，CF₀，结论显然成立．假设有一D点异于D₀满足条件，通过△BDF∽△BAC，得，得到∠BFD=∠BF₀D₀=∠ACB，同理有，若D在D₀左侧，则E，F也在左侧，与相交，故不平行，得到AFE≠∠AF₀E₀=∠ACB，不符合要求．若在右侧亦然，所以假设不成立．原结论成立．
点评：本题考查了直角三角形相似的判定与性质：有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．也考查了直线平行的性质．