Question

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²-2x+3与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，顶点为点D，已知点P（m，0）是线段CO上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，交线段BC于点E，交直线CD于点F．
（1）求点B，点C，点D的坐标；
（2）当m为何值时，△BEF的最大面积是多少；
（3）当△CEF与△DEQ的面积相等时，则m的值是-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得B，C的坐标，根据配方法，可得D点坐标；
（2）根据待定系数法，可得直线CD，直线CB，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得EF的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得EF的长，QE的长，根据三角形的面积相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）y=-x²-2x+3当y=0时，-x²-2x+3=0，解得x₁=-3，x₂=1（舍），即C点坐标为（-3，0）；
当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），
y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，即D点坐标为（-1，4）；

（2）BC的解析式为y=x+3，CD的解析式为y=2x+6，
F点的坐标为（m，2m+6），E（m，m+3），
EF=2m+6-（m+3）=m+3，
S=$\frac{1}{2}$EF•|x_M|=-$\frac{1}{2}$EF•x_F=-$\frac{1}{2}$（m+3）•m=-$\frac{1}{2}$（m²+3m）=-$\frac{1}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，
当m=-$\frac{3}{2}$时，S_最大=$\frac{9}{8}$；

（3）F点的坐标为（m，2m+6），E（m，m+3），Q（m，-m²-2m+3）
EF=2m+6-（m+3）=m+3，EQ=-m²-2m+3-（m+3）=-m²-3m，
x_P-x_C=m+3，x_D-x_Q=-1-m，
S_△CEF=$\frac{1}{2}$EF•（x_P-x_C）=$\frac{1}{2}$（m+3）（m+3），
S_△DEQ=$\frac{1}{2}$EQ•（x_D-x_Q）=$\frac{1}{2}$（-m²-3m）（-1-m），
由△CEF与△DEQ的面积相等，得，
$\frac{1}{2}$（m+3）（m+3）=$\frac{1}{2}$（-m²-3m）（-1-m），
化简，得
m³+3m²-3m-9=0，
因式分解，得
（m+3）（m²-3）=0，
解得m=-3（舍）m=-$\sqrt{3}$，m=$\sqrt{3}$（舍），
故答案为：-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用自变量与函数值的对应关系；解（2）的关键是利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出EF的长，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用面积相等得出关于m的方程，又利用了因式分解法解方程．