Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列说法正确的有（　　）
①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③AD上任意一点到B、C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据角平分线性质得出DE=DF，∠EAD=∠FAD，即可判断①；
根据勾股定理即可求出AE=AF，即可判断②；
根据等腰三角形性质得出AD⊥BC，BD=DC，根据线段垂直平分线性质即可判断③；
根据全等三角形的判定即可判断④．

解答：解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA=∠DFA=90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∵∠EDA+∠EAD+∠DEA=180°，∠FAD+∠FDA+∠DFA=180°，
∴∠EDA=∠FDA，∴①正确；
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵AD=AD，
∴由勾股定理得：AE²=AD²-DE²，AF²\AD²-DF²，
∴AE=AF，∴②正确；
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴AD上任意一点到B、C两点的距离相等，∴③正确；
图中的全等三角形有△DEA≌△DFA，△BAD≌△CAD，△CFD≌△BED，共3对，∴④正确；
故选D．

点评：本题考查了角平分线性质，等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．