Question

13．在同一直线上的三点A、B、C，若满足点C到另两个点A、B的距离之比是2，则我们就称点C是其余两点的亮点（或暗点）．
具体地，（1）当点C在线段AB上时，若$\frac{CA}{CB}$=2，则称点C是【A，B】的亮点；若$\frac{CB}{CA}$=2，则称点C是【B，A】的亮点；（2）当点C在线段AB的延长线上时，若$\frac{CA}{CB}$=2，称点C是【A，B】的暗点．
例如：如图1，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是【A，B】的亮点，又是【A，D】的暗点；点D是【B，A】的亮点，又是【B，C】的暗点．

（1）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4．

【M，N】的亮点表示的数是2；【N，M】的亮点表示的数是0；
【M，N】的暗点表示的数是10；【N，M】的暗点表示的数是-8．
（2）如图3，数轴上，点A所表示的数为-20，点B所表示的数为40．一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒．
①求当t为何值时，P是【B，A】的暗点．
②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点．
（友情提醒：注意P是【A，B】的亮点与P是【B，A】的亮点不一样哦!）

Answer 1

分析 （1）根据亮点（或暗点）的定义即可求得；
（2）根据亮点的定义列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵$\frac{2-（-2）}{4-2}$=2，$\frac{4-0}{0-（-2）}$=2，
∴【M，N】的亮点表示的数是2；【N，M】的亮点表示的数是0，
故答案为2，0；
∵$\frac{10-（-2）}{10-4}$=2，$\frac{4-（-8）}{-2-（-8）}$=2，
∴【M，N】的暗点表示的数是10；【N，M】的暗点表示的数为-8，
故答案为10，-8；
（2）①设运动时间为t秒，则PB=2t，
易得方程2t=2（2t-60）．
所以t=60．
②当P是【A，B】的亮点时，∵PA=2PB，
∴2×2t=60-2t，
解得t=10；
当P是【B，A】的亮点时，∵PB=2PA，
∴2t=2（60-2t），
解得t=20；
当A是[B、P]的亮点时，∵AB=2AP，
∴60=2（2t-60）
解得t=45；
当A是[P、B]的亮点时，∵AP=2AB，
∴2t-60=2×60，
解得t=90；
综上所述：当t为10，20，45，90时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的亮点．

点评 本题考查了数轴和一元一次方程的应用，明确亮点和暗点的定义，根据定义列出方程是解题的关键．