Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E。

（1）求证：AB=DC；
（2）若tanB=2，AB=，求边BC的长。

Answer 1

解：（1）证明：∵DE∥AC， ∴∠BCA=∠E， ∵CA平分∠BCD， ∴∠BCD=2∠BCA， ∴∠BCD=2∠E， 又∵∠B=2∠E， ∴∠B=∠BCD， ∴梯形ABCD是等腰梯形，即AB=DC； （2）如图，作AF⊥BC，DG⊥BC， 垂足分别为F，G，则AF∥DG， 在Rt△AFB中，tanB=2， ∴AF=2BF， 又∵AB=，且AB2=AF2+BF2， ∴5=4BF2+BF2，得BF=1， 同理可知，在Rt△DGC中，CG=1， ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， 又∵∠ACB=∠ACD， ∴∠DAC=∠ACD， ∴AD=DC， ∵DC=AB=， ∴AD=， ∵AD∥BC，AF∥DG， ∴四边形AFGD是平行四边形， ∴FG=AD=， ∴BC=BF+FG+GC=2+。