Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F.

(1)求证: EF与相切；

(2)若AE=6，，求EB的长.

Answer 1

【答案】(1)见解析（2）

【解析】分析：（1）如图，欲证明EF与⊙O相切，只需证得OD⊥EF．

（2）通过解直角△AEF可以求得AF=10．设⊙O的半径为r，由平行线分线段成比例得到，即，则易求AB=AC=2r=，所以EB=AB﹣AE=﹣6=．

详解：（1）证明：如图，连接OD．

∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．

∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠ODC=∠B，∴OD∥AB，∴∠ODF=∠AEF．

∵EF⊥AB，∴∠ODF=∠AEF=90°，∴OD⊥EF．

∵OD是⊙O的半径，∴EF与⊙O相切；

（2）由（1）知，OD∥AB，OD⊥EF．

在Rt△AEF中，sin∠CFD=，AE=6，则AF=10．

∵OD∥AB，∴．

设⊙O的半径为r，∴，解得：r=，∴AB=AC=2r=，∴EB=AB﹣AE=﹣6=．