Question

填空：
（1）已知（x²+y²+1）（x²+y²-3）=5，则x²+y²的值等于

 

．
（2）已知实数x、y满足x²-2x+4y=5，则x+2y的最大值为

 

．
（3）设a²+b²=4ab且a≠b，则

a+b

a-b

的值等于

 

．

Answer 1

分析：（1）利用整体的思想把原方程看作是关于x²+y²的一元二次方程，利用因式分解法求解即可，要注意的是x²+y²是非负数；
（2）利用x来表示x+2y，从而得到关于x的二次函数，然后配成顶点式，根据二次函数的性质确定最大值；
（3）先把a²+b²=4ab看作为关于a的一元二次方程，解方程求出a，即得到a和b的关系，然后代入所求的代数式，再利用二次根式的性质化简即可．

解答：解：（1）∵（x²+y²+1）（x²+y²-3）=5，
∴（x²+y²）²-2（x²+y²）-8=0，
∴（x²+y²+2）（x²+y²-4）=0，
∴x²+y²-4=0
∴x²+y²=4；
（2）∵x²-2x+4y=5，
∴4y=-x²+2x+5，
∴2（x+2y）=-x²+4x+5
=-（x-2）²+9，
∵a=-1＜0，
当x=2时，2（x+2y）有最大值9，即x+2y有最大值

9

2

；
（3）∵a²+b²=4ab，
∴a²-4ab+b²=0，
∴a=

4b± 12b2

2

=（2±

3

）b，
当a=（2+

3

）b，
原式=

3+ 3

1+ 3

=

3 ( 3 +1)

1+ 3

=

3

；
当=（2-

3

）b，
原式=

3- 3

1- 3

=

3 ( 3 -1)

1- 3

=-

3

，
∴

a+b

a-b

的值等于±

3

．
故答案为4；

9

2

；±

3

．

点评：本题考查了二次函数的最值问题：先把二次函数配成顶点式：y=a（x-k）²+h，当a＞0，x=h，y有最小值h；当a＜0，x=h，y有最大值h．也考查了运用换元法解方程和构建二次函数的关系式以及二次根式的性质．