Question

15．如图，O为坐标原点，四边形OABC为长方形，边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，且A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在线段BC上运动，当△ODP为腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分别从OD、OP与PD是底边去分析求解，从而求得点P的坐标．

解答 解：∵A（10，0），C（0，4），
∴OC=4，OA=10，
∵点D是OA的中点，
∴OD=5，
（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP=PD≠5；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，则P的坐标是（3，4）．
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM=$\sqrt{P{D}^{2}-D{M}^{2}}$=3，
当P在M的左边时，CP=5-3=2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP=5+3=8，则P的坐标是（8，4）．
故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．

点评 此题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用．注意正确地进行分类，考虑到所有的可能情况是解题的关键．