Question

已知抛物线y=kx²+（k-2）x-2（其中k＞0）．
（1）求该抛物线与x轴的交点及顶点的坐标（可以用含k的代数式表示）；
（2）若记该抛物线顶点的坐标为P（m，n），直接写出|n|的最小值；
（3）将该抛物线先向右平移

1

2

个单位长度，再向上平移

1

k

个单位长度，随着k的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解方程kx²+（k-2）x-2=0即可得到抛物线与x轴的交点，根据抛物线的顶点坐标公式（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）代入进行计算即可求解；
（2）根据（1）的结果，然后利用绝对值的性质，再根据恒不等式列式进行解答；
（3）根据左加右减，上加下减，写出平移后的抛物线顶点坐标，然后消掉字母k即可得解．

解答：解：（1）当y=0时，kx²+（k-2）x-2=0，
即（kx-2）（x+1）=0，
解得x₁=

2

k

，x₂=-1，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（

2

k

，0）与（-1，0），
-

b

2a

=-

k-2

2k

=

1

k

-

1

2

，

4ac-b2

4a

=

4k×(-2)-(k-2)2

4k

=-

(k+2)2

4k

，
∴抛物线的顶点坐标是（

1

k

-

1

2

，-

(k+2)2

4k

）；

（2）根据（1），|n|=|-

(k+2)2

4k

|=

(k+2)2

4k

=

k2+4k+4

4k

=

k

4

+

1

k

+1≥2

k 4 × 1 k

+1=1+1=2，
当且仅当

k

4

=

1

k

，即k=2时取等号，
∴当k=2时，|n|的最小值是2；

（3）

1

k

-

1

2

+

1

2

=

1

k

，
-

(k+2)2

4k

+

1

k

=

-k2-4k-4+4

4k

=

-k2-4k

4k

=-

1

4

k-1，
设平移后的抛物线的顶点坐标为（x，y），
则

x= 1 k y=- 1 4 k-1

，
消掉字母k得，y=-

1

4x

-1，
∴新函数的解析式为y=-

1

4x

-1．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，顶点坐标以及二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，综合性较强，难度较大，需仔细分析求解．