Question

已知抛物线y=kx²+2kx-3k，交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴于C点，且y有最大值4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的最值得到

4k•(-3k)-(2k)2

4k

=4且k＜0，求出k即可；
（2）①当∠C=90°时，作PC⊥BC交抛物线于P点，并做PD⊥y轴于D点，设P（x，-x²-2x+3），根据△OBC∽△DCP，得到

CO

BO

=

DP

CD

，代入求出即可；②当∠B=90°时，作PB⊥BC交抛物线于P点，并作PE⊥x轴于点E，设P（x，-x²-2x+3），根据△OBC∽△EPB，得到

CO

BO

=

EB

EP

，代入求出即可；③当∠P=90°时，点P应在以BC为直径的圆周上，根据图象得出结论．

解答：解：（1）∵y有最大值4，
∴y=kx²+2kx-3k=k（x+1）²-4k，
∴-4k=4，
解得k=-1，
∴y=-x²-2x+3，
答：抛物线的解析式是y=-x²-2x+3．

（2）根据直角的可能性分三种情况：
①当∠C=90°时，作PC⊥BC交抛物线于P点，并做PD⊥y轴于D点，
设P（x，-x²-2x+3），
∵△OBC∽△DCP，
∴

CO

BO

=

DP

CD

，
即

3

1

=

-x

3-(-x2-2x+3)

，
∴x₁=0（舍去），x2=-

7

3

，
∴P(-

7

3

，

20

9

)；
②当∠B=90°时，作PB⊥BC交抛物线于P点，并作PE⊥x轴于点E，
设P（x，-x²-2x+3），
∵△OBC∽△EPB，
∴

CO

BO

=

EB

EP

，
即

3

1

=

1-x

-(-x2-2x+3)

，
∴x₁=1（舍去），x2=-

10

3

，
∴P(-

10

3

，-

13

9

)；
③当∠P=90°时，点P应在以BC为直径的圆周上，
如图，与抛物线无交点，故不存在，
综上所述，这样的点P有两个：P1(-

7

3

，

20

9

)，P₂（-

10

3

，-

13

9

），
答：在抛物线上存在点P，使△PBC是直角三角形，P点坐标是（-

7

3

，

20

9

）或（-

10

3

，-

13

9

）．

点评：本题主要考查对二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，用待定系数法求二次函数的解析式，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据性质求出符合条件的所有情况是解此题的关键．