Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，AD＋EC＝AB．

(1)求证：△DEF是等腰三角形；

(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数；

(3)△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？

(4)请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF＋∠EFD＝120°，并请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明：∵AB＝AC， 　　∴∠B＝∠C． 　　又∵AB＝AD＋BD＝AD＋EC， 　　∴BD＝EC 　　在△DBE和△ECF中， 　　BE＝CF，∠B＝∠C，BD＝EC， 　　∴△DBE≌△ECF(SAS)． 　　∴DE＝EF． 　　∴DEF是等腰三角形． 　　(2)∵∠A＝40°，∠B＝∠C， 　　∴∠B＝∠C＝70°． 　　∴∠BDE＋∠DEB＝110°． 　　又∵△DBE≌△ECF， 　　∴∠FEC＝∠BDE， 　　∴∠FEC＋∠DEB＝110°， 　　∴∠DEF＝70°． 　　(3)假设△DEF是等腰直角三角形，即∠DEF＝90°， 　　∴∠BDE＋∠DEB＝90°． 　　∴∠B＝∠C＝90°． 　　这与三角形的内角和定理相矛盾， 　　∴△DEF不可能是等腰直角三角形． 　　(4)∠EDF＋∠EFD＝120°，即∠DEF＝60°， 　　∴∠FEC＋∠DEB＝120°，即∠B＝60°． 　　∵AB＝AC， 　　∴∠A＝60°．