Question

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P．
（1）AB的长为______；
（2）画图：在网格中小正方形的顶点上找一点Q，连接AQ、BQ，使得△ABQ∽△CDB，并直接写出△ABQ的面积；
（3）tan∠APD的值是______．

Answer 1

解：（1）AB===；

（2）如图，△ABQ的面积=；

（3）作BH⊥PC于H点，如图，
∴△BHC为等腰直角三角形，
∴BH=CH=BC=，
∵DB∥AC，
∴△PDB∽△PCA，
∴==，
而DC=，
∴PC=，
∴PH=PC-CH=，
在Rt△PHB中，tan∠HPB===2，
∴tan∠APD=2．
故答案为，2．
分析：（1）在Rt△ABC中利用勾股定理可计算出AB；
（2）由于△BCD为等腰三角形，而△ABQ∽△CDB，则△ABQ也为等腰直角三角形，根据此思路可确定Q点的位置，然后利用AQ=AB计算出AQ，再利用三角形面积公式求解；
（3）作BH⊥PC于H点，则△BHC为等腰直角三角形，所以BH=CH=，易得△PDB∽△PCA，所以==，利用DC=可得到PC=，则PH=PC-CH=，在Rt△PHB中，根据正切定义得到tan∠HPB，然后根据对顶角相等求解．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义．