Question

（2012•菏泽）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P₁，P₂，P₃，P₄，P₅是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P₁，P₂，P₃，P₄，P₅中的3个格点并且与△ABC相似（要求：不写作法与证明）．

Answer 1

分析：（1）利用网格得出AB²=20，AC²=5，BC²=25，再利用勾股定理逆定理得出答案即可；
（2）利用AB=2

5

，AC=

5

，BC=5以及DE=4

2

，DF=2

2

，EF=2

10

，利用三角形三边比值关系得出即可；
（3）根据△P₂P₄ P₅三边与△ABC三边长度得出答案即可．

解答：解：（1）∵AB²=20，AC²=5，BC²=25；
∴AB²+AC²=BC²，
根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形；

（2）△ABC和△DEF相似．
由（1）中数据得AB=2

5

，AC=

5

，BC=5，
DE=4

2

，DF=2

2

，EF=2

10

．

AB

DE

=

AC

DF

=

BC

EF

=

5

2 2

=

10

4

，
∴△ABC∽△DEF．

（3）如图：连接P₂P₅，P₂P₄，P₄P₅，
∵P₂P₅=

10

，P₂P₄=

2

，P₄P₅=2

2

，
AB=2

5

，AC=

5

，BC=5，
∴

P2P5

BC

=

P4P5

AB

=

P2P4

AC

=

10

5

，
∴，△ABC∽△P₂P₄ P₅．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理与逆定理应用，根据已知得出三角形各边长度是解题关键．