Question

3．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC是⊙O的直径，若tan∠ACB=$\sqrt{5}$，求tan∠PCB的值．

Answer 1

分析 由切线的性质及圆周角定理可证明∠AOP=∠ACB，即可得OP∥CB、∠PCB=∠CPO、∠ACB=∠AOP，设OA=OC=r，由tan∠ACB=$\sqrt{5}$得AP=$\sqrt{5}$r、PC=3r，作OD⊥PC，证△OCD∽△PCA得$\frac{OC}{PC}=\frac{OD}{AP}=\frac{CD}{CA}$，即可知OD=$\frac{\sqrt{5}}{3}$r、CD=$\frac{2}{3}$r、PD=$\frac{7}{3}$r，由正切定义可得答案．

解答 解：如图，连接OB、OP、AB，

∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠AOB，
又∵∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠AOP=∠ACB，
∴OP∥CB，
∴∠PCB=∠CPO，∠ACB=∠AOP，
设OA=OC=r，
∵tan∠ACB=tan∠AOP=$\frac{AP}{AO}$=$\sqrt{5}$，
∴AP=$\sqrt{5}$r，PC=$\sqrt{A{P}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}r）^{2}+（2r）^{2}}$=3r，
作OD⊥PC于点D，
∵∠CDO=∠CAP=90°，∠OCD=∠PCA，
∴△OCD∽△PCA，
∴$\frac{OC}{PC}=\frac{OD}{AP}=\frac{CD}{CA}$，即$\frac{r}{3r}=\frac{OD}{\sqrt{5}r}=\frac{CD}{2r}$，
∴OD=$\frac{\sqrt{5}}{3}$r，CD=$\frac{2}{3}$r，
∴PD=PC-CD=3r-$\frac{2}{3}$r=$\frac{7}{3}$r，
则tan∠PCB=tan∠CPD=$\frac{OD}{PD}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}r}{\frac{7}{3}r}$=$\frac{\sqrt{5}}{7}$．

点评 本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线长定理、平行线的判定与性质、圆周角定理及相似三角形的性质和判定、勾股定理、三角函数的应用是解题的关键．