Question

解方程：（x+3）⁴+（x+1）⁴=82．

Answer 1

解：假设y==x+2
则原方程变为（y+1）⁴+（y-1）⁴=82?[（y+1）²-（y-1）²]²+2（y+1）²×（y-1）²-82=0?16y²+2（y²-1）²-82=0?y⁴+6y²-40=0?（y²+10）（y²-4）=0．
∵y²+10≠0
∴只能是y²-4=0
解这个方程，得y=±2，即
x+2=±2．
解得原方程的根为x₁=0，x₂=-4．
分析：由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，所以设y==x+2，因而首先将原方程转化为（y+1）⁴+（y-1）⁴=82．
通过完全平方差公式、平方差公式、因式分解将方程转化为（y²+10）（y²-4）=0．解得y的值，再代入换元式y=x+2求得x的值．即为方程的解．
点评：本题通过换元，设y=x+2后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程．一般地，形如
（x+a）⁴+（x+b）⁴=c的方程，可以用换元（设y=）的方法化为双二次方程．