Question

如图，在△ABC中，AB=AC，PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E、D、F，求证：PE-PF=CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,矩形的判定与性质

专题：证明题

分析：过C作CG⊥PE于G，由三个角为直角的四边形为矩形得到CDEG为矩形，得到CD=EG，由一对直角相等，一对对顶角相等，且AC=AC，利用AAS得到三角形PCG与三角形PCF全等，利用全等三角形边相等得到PF=PG，由PE-PG=PE-PF=EG=CD，即可得证．

解答：证明：过C作CG⊥PE于G，
∵PE⊥AB，CD⊥AB，CG⊥PE，
∴四边形CDEG是矩形，
∴CD=EG，
∵PF⊥AC，
∴∠PFC=90°，
∵CG⊥PE，
∴∠PGC=90°，
∴∠PFC=∠PGC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CG⊥PE，AB⊥PE，
∴CG∥AB，
∴∠ABC=∠PCG，
又∵∠ACB=∠PCF（对顶角相等），
∴∠PCG=∠PCF，
在△PCG和△PCF中，

∠PFC=∠PGC ∠PCG=∠PCF PC=PC

，
∴△PCG≌△PCF（AAS），
∴PF=PG，
∴PE-PG=PE-PF=EG=CD，
则PE-PF=CD．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．