Question

10．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．
（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ABD≌△ACF；
（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE²=BD²+CE²；
（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，请直接写出DE²，BD²，CE²三者之间的等量关系．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称的性质可得EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α，再利用等式的性质判断出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABD≌△ACF；
（2）根据（1）得出的全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理证明即可；
（3）结合（1）（2）的方法即可判断出结论．

解答 解：（1）∵点D关于直线AE的对称点为F，
∴EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α
∴∠CAE+∠CAF=α
∵∠BAC=2∠DAE=2α．
∴∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACF（SAS），
（2）由（1）知，△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF²=CF²+CE²，
∴DE²=BD²+CE²，
（3）DE²=BD²+CE²；
理由：如图，

∵∠BAC=2∠DAE=2α．
∴∠DAE=α，
∵点D关于直线AE的对称点为F，
∴EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α
∴∠CAF=∠EAF+∠CAE=α+∠CAE
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=2α-∠DAC=2α-（∠DAE-∠CAE）=2α-（α-∠CAE）=α+∠CAE
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF²=CF²+CE²，
∴DE²=BD²+CE²，

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了轴对称的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此类题目，判断出△ABD≌△ACF是解题的关键，类比的思想是解本题的重点．