Question

操作发现
将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边BC与30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决
将图①中的等腰三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上．AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
（1）求证：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=2

3

，求AC的长．

Answer 1

考点：旋转的性质,等腰三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）根据旋转的性质，可得BC与DE的关系，∠DBC的度数，根据三角形的外角的性质，可得∠DOC、∠OBC与∠OCB的关系，根据等腰三角形的判定，可得答案；
（2）根据正切的意义，可得BD的长，根据正弦的意义，可得答案．

解答：
（1）证明：ABC绕点B顺时针旋转30°，
∴BC=DE，∠DEF=30°，
∴∠BDC=∠BCD．
∠BDC=∠BCD=（180°-∠DBC）÷2=75°．
∵∠ACB=45°，∠DOC=∠OBC+∠OCB，
∴∠DOC=30°+45°=75°．
∴∠COD=∠BDC．
∴△CDO是等腰三角形；
（2）在Rt△BDF中，DF=2

3

，

DF

BD

=tan∠DBF=tan30°=

3

3

，
∴BD=

3

•2

3

=6．
BC=BD=6
在Rt△ABC中，

AC

BC

=

AC

6

=sin45°=

2

2

，
∴AC=

2

2

•6=3

2

．

点评：本题考查了旋转的性质，（1）旋转前后的图形全等，三角形外角的性质，等腰三角形的判定；（2）锐角三角函数是解题关键．