Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°．
（1）尺规作图：在AC上求作一点P，使BP+PC=AB．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在已作的图形中，连接PB，若AB=2cm，求底边BC的长．

Answer 1

考点：作图—相似变换,黄金分割

专题：

分析：（1）作∠ABC的角平分线BD，射线BD与AC的交点即所求的点P，进而得出答案；
（2）根据已知得出各角度数，进而求出△BPC∽△ABC，则

BC

AB

=

PC

BC

，即可得出答案．

解答：解：（1）作∠ABC的角平分线BD，射线BD与AC的交点即所求的点P，
如图射线BD即为所求；

（2）如图：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵∠ABP=∠CBP，
∴∠ABP=∠CBP=36°，
∴∠BPC=72°，
∴BC=BP，BP=AP，
∴AP=BP=BC，
∵∠A=∠CBP，∠C=∠C，
∴△BPC∽△ABC，
∴

BC

AB

=

PC

BC

，

BC

2

=

2-BC

BC

，
解得：BC=-1+

5

或-1-

5

（负数舍去）．

点评：此题主要考查了复杂作图以及相似三角形的判定与性质等知识，得出AP=BP=BC是解题关键．