Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=2，sinB=

3

5

，过点C在∠BCD的内部作射线交射线BA于点E，使得∠DCE=∠B．

（1）如图1，当ABCD为等腰梯形时，求AB的长；
（2）当点E与点A重合时（如图2），求AB的长；
（3）当△BCE为直角三角形时，求AB的长．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）作AM∥DC交BC于点M，AH⊥BC于点H，AD=1，BC=2，sinB=

3

5

，得到AM=AB，BH=HM=

1

2

，结合三角函数的定义可以求得AB的长．
（2））由AD∥BC得到∠DAC=∠ACB，又∵∠DCE=∠B，∴△ADC∽△CAB，得到AC²=AD•BC，求得AC的长度，结合勾股定理，即可构造出关于AB的方程，解方程即可求得相应的AB的长度．
（3）分两种情况来讨论：如图3-1，当BE⊥CE时，∵∠DCE=∠B，∠B+∠BCE=90°，∴∠DCE+∠BCE=90°，作AH⊥BC，则HC=AD=1，∴BH=BC-HC=2-1=1，由sinB即可求得cosB的值，继而求得AB的长度；如图3-2，当BC⊥CE时，延长DA交CE的延长线于点F，由△FDC∽△CEB，可以得到AE的长度，继而求得AB的长度．

解答：解：（1）如图1，作AM∥DC交BC于点M，作AH⊥BC于点H，
∵AD∥BC，∴AMCD为平行四边形，
∴AM=DC，MC=AD=1，
∴BM=BC-MC=2-1=1，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=DC，∴AB=AM，∴BH=HM=

1

2

BM=

1

2

在直角三角形ABH中，
∵sinB=

AH

AB

=

3

5

，
∴cosB=

BH

AB

，∵

BH

AB

=

4

5

，∴AB=

5

8

．

（2）如图2，∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵∠DCE=∠B，
∴△ADC∽△CAB，
∴

AD

AC

=

AC

BC

，
∴AC²=AD•BC=2，
作AF⊥BC于点F，
设AB=x，∵sinB=

AH

AB

，
∴AF=

3

5

x，BF=

4

5

x，
∴CF=2-

4

5

x，
在直角三角形AFC中，AF²+CF²=AC²，即：(

3

5

x)2+(2-

4

5

x)2=2，
∴x=

8± 14

5

，
即当点A与点E重合时，AB=

8+ 14

5

，或者AB=

8- 14

5

．

（3）∵△BCE为直角三角形，
∴BE⊥CE或BC⊥CE，
情况一，当BE⊥CE时，如图3-1，
∵∠DCE=∠B，∠B+∠BCE=90°，
∴∠DCE+∠BCE=90°，
作AH⊥BC，则HC=AD=1，
∴BH=BC-HC=2-1=1，
又由sinB=

3

5

可得，cosB=

BH

AB

=

1

AB

=

4

5

，
解得：AB=

5

4

．

情况二，当BC⊥CE时，如图3-2，
延长DA交CE的延长线于点F，设AE=a，则AF=

4

5

a，EF=

3

5

a，
在直角三角形BCE中，
∵BC=2，sinB=

3

5

，
∴BE=

5

2

，EC=

3

2

，
∵AD∥BC，BC⊥CE，
∴AD⊥EC，
又∵∠DCE=∠B，
∴△FDC∽△CEB，
∴

DF

CE

=

FC

BC

，即：DF•BC=FC•CE，
∴2×(1+

4

5

a)=

3

2

×(

3

2

+

3

5

a)，
∴a=

5

14

．
∴AB=

5

14

+

5

2

=

20

7

∴当△BCE为直角三角形时，AB=

5

4

，或者AB=

20

7

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解答本题的关键在于学会用分类讨论和类比的思想解决问题．