Question

如图，在Rt△OAB中，∠B=Rt∠，OB=2AB．线段AB的垂直平分线交反比例函数y=（x＞0）的图象于点C，D为垂足，过C作CE⊥OB于点E．当四边形CDBE为正方形时，正方形CDBE的面积为________．

Answer 1

分析：延长EC、DC，分别交x轴与P、F点，作CH⊥x轴于H点，设正方形CDBE的边长为a，根据垂直平分线的性质得AB=2a，则OB=2AB=4a，且可得到DF为△OAB的中位线，所以FD=OB=2a，则FC=2a-a=a，于是CP为△FDA的中位线，CP=AD=a，在Rt△CFP中，根据勾股定理计算出PF=a，利用面积法计算出CH=a，在Rt△CFH中，根据勾股定理计算HF=a，OA=2a，所以OF=OA=a，则可确定C点坐标为（a，a），然后把C点坐标代入反比例解析式得到a²．
解答：延长EC、DC，分别交x轴与P、F点，作CH⊥x轴于H点，如图，
设正方形CDBE的边长为a，
∵FD垂直平分AB，
∴AB=2a，
∵OB=2AB，
∴OB=4a，
∵DF为△OAB的中位线，
∴FD=OB=2a，
∴FC=2a-a=a，
∴CP为△FDA的中位线，
∴CP=AD=a，
在Rt△CFP中，PF==a，
∴CH•PF=CP•CF，即CH•a=a•a，
∴CH=a，
在Rt△CFH中，HF==a，
在Rt△OAB中，OA==2a，
∴OF=OA=a，
∴OH=OF+FH=a，
∴C点坐标为（a，a），
把C（a，a）代入y=得a•a=2，解得a²=．
∴正方形CDBE的面积为．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质；熟练运用勾股定理进行几何计算．