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    4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（1，0），直线y=2x-1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求点D的坐标及CD的长度；
    （3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q．
    ①直接写出PQ的长；
    ②若点G在y轴正半轴上，当以G，P，Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点G的坐标．

    分析 （1）首先求出点C坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
    （2）联立直线与抛物线的解析式，解方程组可求得D点坐标，再利用勾股定理可求得CD的长；
    （3）①由平移的性质可知PQ=CD，则可求得PQ的长；②△GPQ为等腰直角三角形，有三种情形，分别根据等腰直角三角形的性质可求得G点坐标．

    解答 解：
    （1）直线y=2x-1，当x=0时，y=-1，则点C坐标为（0，-1）．
    设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
    ∵点A（-1，0）、B（1，0）、C（0，-1）在抛物线上，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线的解析式为：y=x2-1；
    （2）联立直线与抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-1}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
    ∴D（2，3），
    ∴CD=$\sqrt{{2}^{2}+（3+1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
    （3）①由平移的性质可知PQ=CD=2$\sqrt{5}$；
    ②设G（0，t），则GC=t+1，
    在Rt△OCE中，可求得OE=$\frac{1}{2}$，OC=1，
    ∴CE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
    当△GPQ为等腰直角三角形，可能有以下情形：

    i）若点P为直角顶点，如答图3①所示，则GP=PQ=2$\sqrt{5}$，
    由题意可得△GPC∽△EOC，
    ∴$\frac{GP}{OE}$=$\frac{GC}{CE}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{t+1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$，解得t=9，
    ∴G（0，9）；
    ii）若点Q为直角顶点，如答图3②所示，
    则QG=PQ=2$\sqrt{5}$．
    同理可得：G（0，9）；
    iii）若点G为直角顶点，如答图3③所示，
    此时PQ=2$\sqrt{5}$，
    则GP=GQ=$\sqrt{10}$．
    分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足分别为点M、N．
    在△PMG和△GNQ中
    $\left\{\begin{array}{l}{∠PMG=∠GNQ}\\{∠PGM=∠GQN}\\{PG=QG}\end{array}\right.$
    ∴Rt△PMG≌Rt△GNQ（AAS），
    ∴GN=PM，GM=QN．
    在Rt△QNG中，由勾股定理得：GN2+QN2=GQ2，
    即PM2+QN2=10 ①
    ∵C、D的横坐标相差2，
    ∴点P、Q横坐标相差2，
    ∴NQ=PM+2，
    代入①式得：PM2+（PM+2）2=10，
    解得PM=1，
    ∴NQ=3．
    在直线y=2x-1中，当x=1时，y=1，
    ∴P（1，1），
    即OM=1．
    ∴OG=OM+GM=OM+NQ=1+3=4，
    ∴G（0，4）．
    综上所述，符合条件的点G有两个，其坐标为（0，4）或（0，9）．

    点评 本题是二次函数压轴题，涉及考点众多，需要认真分析计算．第（3）问中，G、P、Q三点均为动点，使得解题难度增大，首先求出线段PQ的长度是解题的关键．

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