Question

如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．
（1）填空：点C的坐标是（________，________），点D的坐标是（________，________）；
（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；
（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）y=-2x+2，
当x=0时，y=2，
当y=0时，x=1
，∴A（1，0），B（0，2），
∵将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD，
∴OC=0A=1，OD=OB=2，
∴点C的坐标是（0，1），点D的坐标是（-2，0），
故答案为：0，1，-2，0．

（2）由（1）可知：CD==，BC=1，
又∠ABO=∠ADC，∠BCM=∠DCO
∴△BMC∽△DOC（有两角对应相等的两三角形相似），
∴=，
即=，
∴BM==，
答：线段BM的长是．

（3）存在，
分两种情况讨论：
①以BM为腰时，
∵BM=，又点P在y轴上，且BP=BM，
此时满足条件的点P有两个，它们是P₁（0，2+）、P₂（0，2-），
过点M作ME⊥y轴于点E，
∵∠BMC=90°，则△BME∽△BCM，
∴=，
∴BE==，
又∵BM=PM，
∴PE=BE=，
∴BP=，
∴OP=2-=，
此时满足条件的点P有一个，它是P₃（0，），

②以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F，
由（2）得∠BMC=90°，
∴PF∥CM，
∵F是BM的中点，
∴BP=BC=，
∴OP=OB-BP=2-=，
此时满足条件的点P有一个，它是P₄（0，），
综上所述，符合条件的点P有四个，
它们是：P₁（0，2+）、P₂（0，2-）、P₃（0，）、P₄（0，）．
答：存在，所有满足条件的点P的坐标是P₁（0，2+）、P₂（0，2-）、P₃（0，）、P₄（0，）．
分析：（1）把x=0，y=0分别代入解析式求出A、B的坐标，即可得出C、D的坐标；
（2）根据勾股定理求出CD，证△BMC∽△DOC，得到比例式即可求出答案；
（3）有两种情况：①以BM为腰时，满足BP=BM的有两个；过点M作ME⊥y轴于点E，证△BME∽△BCM，求出BE、PE，进一步求出OP即可；②以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F，根据等腰三角形的性质求出即可．
点评：本题主要考查对一次函数的综合题，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形变换-旋转等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．